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关于反应扩散方程在经济数学中的探究

作者:美术论文
出处:www.lunrr.com
时间:2019-11-05

引言

反应扩散方程是反映相关变量和时空变量之间关系的方程。在解决实际问题时,人们经常使用由常微分方程构建的数学模型来模拟和研究其解决方案。随着研究问题的深入和实际问题的复杂性,常微分方程构造的局限性越来越受到限制,有时需要偏微分方程来解决一些问题。但是,当使用偏微分方程求解问题时,该过程非常复杂且计算量很大。如果我们使用电抗扩散偏微分方程来解决这些问题,则可以简化它们。

1.反应扩散方程

在数学中,半线性抛物线方程通常称为反应扩散方程。其中u是某种意义上的浓度,x是空间变量,

δ是拉普拉斯算子。

其次,反应扩散方程的行波解

由于反应扩散方程涉及经济数学中的许多数学模型,因此它具有广泛的应用背景,其行波解引起了各个领域的兴趣。让我们讨论方程波动解的存在。

上式的行波解是u(x,t)=u(x-ct)=u(z)的解。上述方程行波解的充要条件是

2

2 d u c du u(1 u)0

Dz dz

+ +-=

如果在某种意义上浓度u(z)是单调有界的,则u(z)是上述常微分方程的波前解。

例如:

2

1

?=

1

w=?2 z。先前的反应扩散方程变为

2

2个你(1个)0

DW dw

+ +-=

给定的边界条件是、、、、,,,

可用

因此,存在反应扩散方程的波形解。

3.反应扩散偏微分方程

2

2 u u u(1 u)

T x

?

+ +-

?

U(-)=1,u(0)=a(0< A< 1),u()=0

B ln1 a

-

=

2

012 2

()1,()ln(1)

1(1)2(1)

偏微分方程在经济数学中起着重要作用。偏微分方程解决了许多经济和数学问题。

首先,给出了反应扩散偏微分方程的经典形式。函数u(x,y,t)满足以下反应扩散偏微分方程

初始条件是0 u(x,y,0)=u(x,y),(x,y)?

边界条件是u(x,y,t)=g(x,y),(x,y)W,t? (0,T]。

其中0U(x,y),g(x,y)是已知函数,

2 2

X2 y2

?

d=+

?

是拉普拉斯算子,

u(x,y,t)是未知函数。

我们将径向函数插值无网格方法应用于上述方程。令dt=tl + 1-tl为时间步长。对于任何tI +1ttI和0q1,将q-应用于u(x,y,t),可以近似如下:/p>

u(x,y,t); q u(x,y,tl + 1)+(1-q)u(x,y,tl)

令ul(x,y)o u(x,y,tl)得到以下方程式

Ul 1 1(ul 1 ul)1(ul ul)ul 1

DT

q b b

q a q a

+ +-+

D=--+-

如果uI +1(x)是偏微分方程的解,则将上述方程的右侧设置为F(x,y),并且上式为标准的皮森方程ul + 1=F(x, Y)。如果已知F(x,y),则假定插值点具有(L-3),则在每个点(,)ijxy((i=1,2,3,L,L-3)处,应用配置点得到F Xylfrlxlyl

-

--

=

; + + +

其中,根据限制可以得出

3 3 3

1 1 1

L L L

L l l

J J J j

J J j

L x l y

---

===

?==?=

那么逼近函数u(x,y)具有以下形式

1 1

1

(,)()

J J j

U + X Y L + r

=

? F

其中满足

(,)(,)J DF x y=F X y

这里,使用径向函数MQ和TPS来计算结果。

22 3

222 2

222 2

2 3

4

(,)()ln(())

9 3

(,)1 ln()1

4(1)4(1)

J J j

M m

K K k

C R C XY R C C R c

X Y R r

M m

+ +

+

F=+ - ++

F= -

+ +

成为矩阵形式

[] l [] l u=A l

通过以上分析,反应扩散方程可用于求解偏微分方程。反应扩散偏微分方程可以提高问题求解的效率。

四,结论

经济数学具有很强的实用性和适用性。经济数学的研究方法被应用于物理学,化学和其他自然科学领域,甚至与诸如经济等社会科学紧密相关。经济数学在促进这些学科的发展方面发挥了重要作用。建立的数学模型的使用使经济研究更加精确,准确和实用。为中国的经济发展做出更大的贡献。

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