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加州大学刘克峰教授演讲:丘成桐与卡拉比猜想60年

作者:水利工程
出处:www.lunrr.com
时间:2020-01-06

资料来源:光明日报出版时间:2013年

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加州大学刘克峰教授演讲:丘成桐和卡拉比猜想60年

丘成桐,韩客家,1949年4月4日出生于中国广东汕头,邱振英之子 他目前是哈佛大学的数学教授和清华大学数学科学中心主任。 菲尔兹奖,即1983年的“诺贝尔数学奖”,是迄今为止获得该奖的仅有的两位中国数学家之一。 图为丘成桐先生(右)和刘克峰先生。

陈省身先生(1911-2004)

卡拉比空室

丘成桐,卡拉比先生

刘克峰出生于1965年12月。现任浙江大学数学中心执行主任兼数学系系主任,加州大学洛杉矶分校林彪讲座教授兼数学系教授 主修:微分几何、拓扑学、数学物理 他目前是顶级国际数学杂志《几何与分析通讯》的主编。 他获得了世界最高的中国数学奖、“陈星数学金奖”和2004年教育部十大科技进步奖。 他还获得了国际着名的古根海默奖、全球中国数学家大会银奖、斯隆奖和特曼奖

演讲者:刘克峰时间:2月8日地点:加州大学洛杉矶分校

20世纪50年代是几何学和拓扑学最辉煌的时代。 一群年轻数学家证明了一系列伟大的数学定理,开创了一个新时代。 连同他们的定理,它们闪耀着光芒,照亮了整个数学史。

Calabi推测,在数学社区的期望中,等待它真正的国王,这种等待是21年。

霍奇在1941年的理论刚刚被魏尔和科达伊拉完成 陈省身在1945年引入的代表类由赫泽布吕克(Hirzebruch)继承并证明了拓扑学中的符号差分定理和代数几何中的赫泽布吕克-黎曼-洛克定理。 工程师博特证明了他不朽的同伦群周期性定理。 这些结果很快启发了阿蒂亚-辛格指数定理。 塞尔用Leray的谱序列计算代数拓扑中球面的同伦群,用层理论写出着名的代数几何文章GAGA,并系统地将复分析引入代数几何 Kodaira证明了他着名的嵌入定理,发展了复杂流形的变形理论。 后来,米尔诺尔发现了7维奇异球,纳什证明了黎曼流形的嵌入定理。 这些伟大的数学家和他们的定理,如天空中闪耀的星星空,数不胜数。

在1954年国际数学家大会上,菲尔兹奖的获奖者是科达伊拉和塞尔。他们的主要工作是把复分析、微分几何和代数几何完美地结合起来。 正如韦勒在获奖感言中所说:“他们的成就远远超过了他年轻时的梦想。他们的成就代表了数学新时代的到来。” “

也是在这次数学家大会上,31岁的意大利数学家卡拉比在大会邀请报告的一页上写下了他着名的猜想:如果M是一个紧致的卡勒流形,那么它的第一个Chen类中的任意(1,1)形式R只有一个Kale度量,它的Ricci形式恰好是R 卡拉比还粗略地描述了他猜想的一个证明方案,并证明了如果解存在,它一定是唯一的一个。

但是三年后,在1957年发表的一篇关于卡拉比-尤流形几何的文章中,他意识到这个证明根本行不通。 这里我们需要解一个极其困难和复杂的偏微分方程,它被称为复蒙赫-安培方程。 他去请教安德烈韦尔教授,他是20世纪最伟大的数学家之一。 魏尔说:“当时,没有足够的数学理论来征服它。” "

众所周知,庞加莱着名的均匀化定理告诉我们,一维复流形只有三个简单的覆盖:球面、复平面和单位圆盘。 如何将均匀化定理推广到高维流形几乎主宰了现代几何和拓扑的发展。 即使从复杂的一维流形到复杂的二维流形,问题的复杂性也远远超出想象,数学家称之为从天堂到地狱。 换句话说,上帝创造了黎曼的表面,它简单、美丽、多彩。是魔鬼创造了复曲面,它是复杂的、令人眼花缭乱的和令人眩晕的。 卡拉比猜想可以被看作是高维均匀化定理令人难以置信的大胆推广,甚至在高维复杂流形中给出了一个罕见的一般规律。 特别指出了在复卡雷尔流形式的第一陈类大于零、等于零且小于零的三种情况下,卡勒尔-爱因斯坦度量的存在性,即该度量的第一陈形式等于其卡勒尔形式 这正好对应于黎曼曲面三次均匀化的推广

我们应该知道当时已知的爱因斯坦流形的例子都是局部齐次的,我们甚至不知道在复投影空中的超曲面上是否存在爱因斯坦度量,例如K3曲面 在这种情况下,卡拉比做出了如此大胆的猜测,这表明他有很大的勇气和胆量。难怪从那以后大多数几何学家都怀疑这种猜测的正确性。许多人试图找到反例而不是证明它。 正如庞加莱的均匀化定理和霍奇定理需要数年甚至数十年的努力才能得到完美的证明一样,卡拉比的猜想也在数学界的期待中,等待着它真正的王者到来。这种等待是21年

塞尔说:“一个非常好的数学猜想,它的解应该伴随着一系列推论和持续的影响。” “

1957年,5岁的丘成桐在世界的另一端过着贫穷的生活。当时,香港很少有人知道什么是微分几何。 他父亲在14岁时去世,这让他在这个世界上感到温暖和寒冷,也造就了他不屈不挠的性格。 十一年后,他进入了香港中文大学。1969年,他作为三年级学生去了伯克利。 那一年,着名几何学家吴宏喜教授在给另一位着名几何学家格林的信中预言,这位19岁的年轻人将改变微分几何的面貌。 很难知道吴宏喜教授是如何看到一个19岁年轻人不同寻常的王者精神的。

读研究生的第一年,丘成桐初试身手,便解决了微分几何中一个有关负曲率流形基本群的结构问题,事后他才知道这就是微分几何中着名的沃尔夫猜想。这一点颇像米尔诺(Milnor)把扭结理论里的猜想当成家庭作业完成一样。当遇到卡拉比猜想后,他像是见到了美丽的天使,一见钟情。此后童话般的故事人人皆知,其中的痛苦与快乐也只有丘成桐自己才能体会。后来他告诉所有人,他成功的诀窍是用苦功而非天才,他曾尝试过近五千个实验函数,来发展流形上梯度估计的技巧。所以我们知道,一只苹果掉到头上,令牛顿豁然开朗地发明了微积分,那只是个传说。为了解决卡拉比猜想,他需要系统地创建和发展流形上的非线性分析,特别是Monge-Ampere方程的理论、方法与技巧。他先与郑绍远合作,用实的Monge-Ampere方程解决了着名的闵可夫斯基(Minkowski)猜想和闵可夫斯基时空中的伯恩斯坦(Bernstein)问题,此后再将他自己发展的梯度估计技术发挥到极致,终于在1975年完全解决了卡拉比猜想。此时此刻,除了丘成桐,最高兴的应该是卡拉比,从1954年到1975年,整整21年的梦想终于成为了现实!那一年的圣诞节,他、丘成桐和尼伦伯格(Nirenberg)一起在纽约的Courant研究所度过,整天就是讨论丘成桐的证明。卡拉比猜想最终成为卡拉比-尤定理!

卡拉比后来回忆说,这是他一生中唯一的一次圣诞聚会,这个猜想的证据是最好的圣诞礼物。 当他在1991年获得美国数学学会终身成就奖时,他动情地说,我特别想感谢丘成桐,因为他,我今天可以站在这个讲台上。

塞尔说:“一个非常好的数学猜想,它的解应该伴随着一系列推论和持续的影响。” “卡拉比的猜测是这样的,在这里我只举几个例子

首先,卡拉比猜想告诉我们,对于第一个Chen类小于或等于零的紧致卡雷尔流形式,卡勒尔-爱因斯坦度量总是存在的 对于小于零的情况,它的简单推导解决了长期存在的塞弗里猜想。复杂的二维投影空之间的复杂结构是独特的,甚至任何维度的复杂投影空之间的羽衣甘蓝复杂结构也是独特的。

另一个奇怪的推论是,在如此复杂的任意维流形上有一个奇妙的表示数不等式,而代数几何学家以前只能获得复杂的二维情形。 第一陈类等于零的二维复流形是一个众所周知的K3曲面。托多洛夫用卡尔比-尤定理证明了它的周期映射是同态,小唐寅用卡尔比-尤度量证明了所有K3曲面都是卡尔曲面。 然而,高维第一陈类为零的复流形的基本结构定理也随之而来 这些都是复杂几何和代数几何中众所周知的猜想。直到卡拉比猜想被证明,人们别无选择,只能退缩。

最令人惊奇的是上世纪80年代初,超弦学家们认识到第一陈类等于零的三维复流形,恰好是他们的大统一理论所需要的十维时空中的一个六维空间,这神秘的六维空间,在我们看不到的尺度里主宰着我们大千世界的千变万化。这个发现引发了物理学的一场革命。物理学家们兴奋地把这类流形称为Calabi-Yau空间,Yau便是丘成桐的英文姓氏。有兴趣的朋友如果在Google中输入Calabi-Yau,就会发现近40万个条目。以至于不少物理学家都以为Calabi是丘成桐的名字。正如威滕(Witten)所言,在这场物理学的革命中,每一个有重要贡献的人都会名扬千古。Calabi-Yau也在数学中引发了一系列重大的进展,如超弦学家Candelas等人通过研究不同的Calabi-Yau流形给出的相同的超对称共形场论所发现的镜对称猜想。这个猜想由丘成桐、连文豪与我以及Givental独立证明,它解决了代数几何中遗留了上百年的舒伯特(Schubert)计数问题。基于Calabi-Yau流形的基本结构,着名超弦学家威滕、瓦法(Vafa)等人发展的Chern-Simons与拓扑弦对偶理论给出了黎曼面模空间中许多奇妙的公式,如Marino-Vafa公式给出了无穷多个模空间积分的组合闭公式,此猜想由刘秋菊、周坚与我一起证明。 可以说卡拉比-尤流形长期以来一直是弦论者不可或缺的魔盒。利用它,他们不断地改变令人眼花缭乱的猜想,这已成为数学和理论物理的发展趋势,并仍在上升。

卡拉比猜想的证明也标志着微分几何新时代的到来。

Hodge理论、小平理论和卡拉比-尤定理是复杂几何史上三大里程碑,也是整个数学中最精彩的定理。 他们有许多相似之处和不同之处。 它们都是由微分几何证明的,都是连接几何与代数几何等其他领域不可缺少的桥梁。 他们需要的条件简单且易于验证。它们都包含代数几何和微分几何中最重要的流形 它们的应用都给出了稳定的重要推论,并成为复杂几何教科书中不可或缺的章节。 这是数学中所有伟大定理的共同特征。

Calabi猜想的证明也标志着微分几何新时代的到来。 一门新学科诞生了,叫做几何分析。 它的定义是用非线性微分方程的方法系统地解决几何和拓扑问题,进而用几何直觉和思想理解偏微分方程的结构。

丘成桐在1978年国际数学家大会的会议报告中系统而清晰地描述了几何分析和高维单变量理论的发展前景 用这种方法解决了一系列着名的问题,特别是唐纳森代表的规范场论与低维拓扑的结合,汉密尔顿瑞奇流和庞加莱猜想的历史性进展,使几何分析的发展达到了顶峰。

另一方面,早在1983年,来自丘成桐的学生曹怀东和班多就开始在他的指导下用瑞奇流方法研究卡雷尔流形状的标准度量的存在性,使得卡勒-瑞奇流成为研究复杂流形的重要工具之一。

与卡拉比猜想密切相关的另一个问题是代数几何中全纯向量束的稳定性与其埃尔米特-爱因斯坦测度之间的对应关系。这个问题归结为一个与规范场理论相关的非常困难的非线性方程解的存在性。 1986年,丘成桐与乌伦贝克合作,以卡雷尔流的形式彻底解决了这个问题。 后来,唐纳森也用不同的方法在投影流形上解决了这个问题。 1988年,辛普森扩展了这些结果,并将它们与霍奇的变分理论相结合,成为代数几何中一个极其有效的工具。

对于复流形的切丛,Kahler-Einstein度量可以认为是没有挠率的Hermitian-Einstein度量,所以Kahler-Eienstein度量意味着流形的切丛在代数几何意义下是稳定的,但要更细致更深刻。多年来,丘成桐一直考虑什么样的代数稳定性对应着Kahler-Einstein度量的存在。从我1988年来到哈佛成为丘成桐的学生,他的讨论班里最多的话题就是代数几何中各种稳定性的概念与相关的度量和分析问题。丘成桐的几个学生,如田刚、李骏、梁乃聪和罗华章等人的博士论文都是讨论这方面的题目。他的一些想法记录在他1990年所发表的100个几何问题集里,这个问题集是为陈省身79岁生日而整理的。第65个问题就猜测Kahler-Einstein度量的存在性应该等价于代数几何中几何不变量意义下的稳定性。在第一陈类大于零的复流形上,这个猜想首次给出了Kahler-Einstein度量存在的充分必要条件,建立了标准度量与代数几何的密切关系。他当时的不少学生,包括田刚在内,都感觉到丘成桐猜想指出了新的研究方向,非常漂亮,也很有意义,开始努力研究丘成桐猜想。在此之前丘成桐也考虑了如何用伯格曼核的想法来逼近Kahler-Einstein度量,如何将卡拉比猜想推广到开流形与有奇点的流形上,并在几篇着名的综述文章中予以详细的阐述。 所有这些都成为未来复杂几何发展的重要指导方针,并引领唐纳森、田刚等人在未来从事卡勒-爱因斯坦测量(Kahler-Einstein measurement)。 基于他的一些思想,丘成桐、郑袁绍、莫毅明和田刚编辑出版了一系列文章,其中一些构成了田刚的博士论文。 众所周知,田刚的大部分博士论文和未来的主要工作都是受丘成桐这些思想和猜想的启发。

"落花人是独立的,飞燕向两个方向飞去."当丘成桐证明卡拉比的猜想时,他用这句诗来描述自己的感受。

与第一陈类小于和等于零的情况相反,直到丘成桐提出他的猜想前,第一陈类大于零的情况一直显得颇为迷离。首先这类流形有不存在Kahler-Einstein度量的例子。在20世纪60年代,松岛(Matsushima)证明了Kahler-Einstein流形的自同构群必须可约。80年代初,福复(Futaki)引进了此类流形上存在Khler-Einstein度量的障碍函数,被称之为福复不变量。事实上,很多学者,如卡拉比、福复等都误以为没有全纯向量场应该是Kahler-Einstein度量存在的唯一必要条件,并没有意识到流形本身稳定的重要性。在较特殊的复二维情形,有一些存在性结果,但萧荫堂一直认为,这些结果并不完备,至今也还没有完整的结果。此后近30年,田刚一直沿着丘成桐猜想所指出的研究方向不懈努力,试图理解正曲率条件下,稳定性与Kahler-Einstein度量的存在性如何相关,他用福复不变量定义了一个解析稳定性的概念,称为K-稳定性,并取得了一些进展。然而这个问题的真正突破来自于唐纳森,他在2001年证明了如果卡勒流形上的卡勒类中存在一个常数量曲率的度量,并且其自同构群是离散的,那么这个流形就是在代数几何意义下是稳定的。唐纳森所用的关健工具恰好是丘成桐考虑过的伯格曼核的逼近方法,他敏锐地观察到伯格曼核渐进展开的第二项正是数量曲率,如果它为常数,则相应的偏微分方程便可解。此后唐纳森引进了适合研究丘成桐猜想的代数几何意义下的K-稳定性概念,并在2010年公布了证明K-稳定性与Kahler-Einstein度量存在等价性的丘成桐猜想的纲领,最近陈秀雄-唐纳森-孙菘在网上发表了三篇文章实现了这些想法,而田刚在唐纳森纲领的基础上也宣称完成了这个猜想的证明。由于这些文章都相当复杂,如唐纳森等人写了三篇长文,田刚在贴出自己的文章后还在不断地做出修改,所以这些证明的正确性还有待专家们详细验证。

第一陈类大于零的复流形也叫作法诺流形,这类流形比第一陈类小于零的流形相对来得少,其内容也远不如后者丰富,例如复一维情形只有一个球面,而复二维的流形从拓扑来看也只是复投影空间吹大几个点。更有意思的是代数几何中研究这类流形的工具也远比微分几何的方法强大,特别是1979年森重文(Mori)在法诺流形上用有限域的技巧发现的有理曲线存在性,这是迄今为止微分几何方法一直无法超越的天才发明。以此为工具,代数几何学家对法诺流形几何的了解走在了微分几何研究的前面。

这种情况与第一陈类小于和等于零的情形形成了鲜明的对比,这两类流形包含比法诺流形丰富得多的例子,而由于丘成桐证明的卡拉比猜想,在这些流形的研究中,微分几何的方法和工具更强大也更有效。这里我们还要注意到,正如唐纳森等人在他们的文章中所阐述的,K-稳定性并不是一个容易验证的条件,其实用性也与丘成桐所证明的卡拉比猜想相差甚远。目前他们所证明的丘成桐猜想唯一有意思的推论还是丘成桐所指出的,K-稳定形可以推出切丛的稳定性。所以即使K-稳定性等价于Kahler-Einstein度量的存在性的猜想得到证明,其重要性也需要在日后的应用中才能得到检验。而丘成桐本人则在勾画了他的猜想的证明纲领后,便将题目交给了他的学生和朋友,一方面他认为他的猜想虽然重要,但与他证明的卡拉比猜想相比还是有很大的距离,另一方面他认为弦理论引发的数学问题要比他自己的猜想更具挑战性,也有更大的潜力。事实上,他和他的学生与博士后在Calabi-Yau流形上的工作已经在近代数学中开创了一个新的重要研究方向。至于丘成桐猜想证明的正确性和其在几何学中的前景,只有他这个开创者和专家才有资格来评判了。

当然,卡拉比猜想只是丘成桐众多数学成就的一部分。1978年受邀在国际数学家大会作大会报告时,他29岁。1983年获得数学界最高奖,菲尔兹奖时,他34岁。特别要说明的是那个时候他持香港护照,还是中国公民。他也一直以此为豪。1983年12月22日,当时的中共中央总书记胡耀邦在中南海亲切会见了为祖国争得荣誉的丘成桐教授。此后他几乎囊括了这个世界上一个数学家所能得到最高荣誉,包括沃尔夫奖、克拉福德奖和美国国家科学奖章。然而卡拉比猜想的证明毫无疑问是他数学事业中最为绚丽的篇章,它承载了无数数学家60年的光荣与梦想,造就了几何分析40载的传奇与辉煌。

“落花人独立,微雨燕双飞”,这是丘成桐描述自己证明了卡拉比猜想时的心情所用的诗句。从那一刻起,丘成桐一跃而成为一个伟大的数学领袖,领导了几何学近四十年的辉煌,他代表了数学与超弦理论的一个时代。正如 《纽约时报》 所言:他是当之无愧的数学皇帝。(原标题:丘成桐与卡拉比猜想60年)

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